说一说'Monads'

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说一说‘Monads’

1.关于范畴论

范畴论是数学的一门学科，以抽象的方法来处理数学概念，将这些概念形式化成一组组“物件”及“态射”。范畴论是对数学的某些分支的更高阶的抽象化，所以被称为“一般化的抽象废话”。

  • 函子

    将范畴再抽象一次（范畴自身也是数学结构的一种），寻找在某一意义下会保持其结构的过程，我们把这一过程称为函子，这实际上是定义了一个包含“范畴和函子”的范畴，元件为范畴，态射为函子。

    一个从范畴 C 到范畴 D 的函子 F 被定义为：

    • 对 C 中任意物件 X ，都有一个 D 中相应的物件 F(X) 与其对应；
    • 对 C 中任意态射 f : X → Y ，都有一个 D 中相应的态射 F(f) : F(X) → F(Y) 与其对应；

    并使下列性质成立：

    • 对 C 中任意的物件 X ，都有 F(idX) = idF(X) 。
    • 对 C 中任意两个态射 f : X → Y 和 g : Y → Z，都有 F(g · f) = F(g) · F(f) 。

    将范畴映射到自身的函子被称为“自函子(Endofunctor)”。

  • 组成

    一个范畴‘C’是由三个部分组成：

    • 1.一个类ob(C)，里面的元素称为“物件”

    • 2.一个类hom(C)，其元素为“态射”或“箭号”。每个态射f 都只有一个“源物件”a 及一个“目标物件”b（其中a 和b 都在ob(C) 内），称之为“从a 至b 的态射”，标记为f : a → b。

    • 3.一个二元运算，称为“态射复合”，使得对任意三个物件a、b 及c，都会有hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c)。两个态射f : a → b 及g : b → c 的复合写做g ∘ f 或gf，并会符合下列两个公理：

      • 结合律：若f : a → b、g : b → c及h : c → d，则h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f；
      • 单位元：对任意物件x，总存在一个态射1x : x → x（称为x 的单位态射），使得对每个态射f : a → b，都会有1b ∘ f = f = f ∘ 1a。

      （可以看出每个范畴只会有一个单位元，monad每个物件只会有一个单位态射）

2.Haskell与范畴论

Haskell中存在着这样的一种唯一的范畴Hask其满足我们上面所提到的范畴所满足的所有约定。

  1. 物件就是Haskell中的类型，注意Haskell中的类型是一个类，即是一个集合。
  2. 态射就是Haskell中的函数（function），如f :: Int -> Bool，函数f就是将Int这个物件的值映射到Bool物件的值上。
  3. 态射复合就是Haskell中函数的组合，比如func = f.g。

​ 可以验证符合上面的两条公理。

由于Haskell中只有一个范畴，所以如果存在函子那么必然是映射到自身的自函子，那么Haskell中存不存在自函子呢？

  1. 首先要满足第一个条件：存在物件与物件之间的映射。在Haskell中，type constructor可以利用一个typeclass构造出其他的typeclass来，例如以下的定义:

    Tree
data Tree a = Tip | Node a (Tree a) (Tree a)

    这里Node作为一类类型可以构造出Tree这种类型来。

  2. 第二个条件：态射与态射之间的映射。我们来看下面这种typeclass

    class Functor f where
  fmap:: (a -> b) -> f a -> f b

    typeclass fmap接受一个函数（物件与物件之间的映射），将其映射到另一个函数上（物件与物件的映射），所以说fmap是一个满足“态射与态射之间的映射”的一个typeclass。

3.monads

Monads是自函子范畴上的一个幺半群。